Köklü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin anlatımını yaptığımız şu konudan sonra sıra toplama ve çıkarma işlemlerini anlatmaya geldi. Bu konudaki en çok soru çıkan yerlerden biri olan toplama – çıkarma işlemlerinin, temelinde yatan mantık aslında ilkokulda öğrendiğimiz basit bir yöntemdir.
Toplama işlemi yapılırken aynı cins olmasına dikkat eder, farklı cinslerle işlemler yapmazdık. Örneğin; elma ile elmayı toplayabilirken, elma ile armut veya herhangi bir meyveyi toplayıp yazamazdık. İşte bu mantık bu konun en can alıcı noktası olacaktır.
Kareköklü Sayılarda Toplama İşlemi
Kateköklü sayılarda toplama işlemi yapılırken kök içinde bulunan sayıların aynı olmasına dikkat edilir. Aynı olmazsa aynı olacak şekilde ayarlanmaya çalışılır. Bu adımlar sağlandıktan sonra katsayılar toplanıp katsayıya yazılırken, kök içindeki sayı sabit kalır.
KURAL:
$a\sqrt{b} + c\sqrt{b} =(a+c)\sqrt{b} $
Örnek 1:
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} $ işleminin sonucu kaçtır?
İşlemi yapabilmemin temel şartı karekök içinde bulunan sayıların aynı olmasıdır. Her iki karekök içinde de 2 sayısı bulunduğu için sadece katsayılar toplanarak işlemimizin sonucu kolayca bulunabilir.
$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 3 + 5 \sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}$
Örnek 2:
$-5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + \sqrt{3} $ işleminin sonucu kaçtır?
Bütün kareköklü ifadelerin içi aynı sayı olduğu için katsayıları toplamalıyız. Yalnız sonraki $\sqrt{3} $ ifadesinde herhangi bir karekök olmadığını görüyoruz. Bu nedenle burası 1 olarak alınmalıdır.
$(-5) + 6 + 1\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
NOT:
Toplama ve çıkarma işlemlerinde karekök katsayısı bulunmuyorsa katsayıyı mutlaka 1 olarak almalıyız. En çok yapılan hatalardan biri o karekökü işleme katmamak yani istemeden 0 olarak almaktır. Dolayısıyla bu noktada oldukça dikkatli olmalıyız!Örnek 3:
$\sqrt{12} + \sqrt{27} $ işleminin sonucu kaçtır?
Yukarıdaki işlemde görüldüğü üzere karekök içindeki sayılar farklıdır. Bu nedenle bizim toplamayı yapmadan önce ekstra olarak bir şeyler yapmamız gerekmektedir. Kareköklü sayıları kök dışına atma ile ilgili konuyu daha önce öğrenmiştik. İşte tam burada o konu oldukça değer kazanmaktadır. Eğer o konuda eksikleriniz varsa çalışma kağıdımıza mutlaka göz atın.
12 sayısını 4.3 ve 27 sayısını 9.3 olarak yazdığımızda tam kare sayılar dışarıya çıkabilecektir. Dolayısıyla karekök içlerinde her iki sayıda da 3 sayısı kalacaktır. Bu da toplama işlemi için bizim işimize yarayacaktır. Yani;
$\sqrt{4.3} + \sqrt{9.3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} $
$= 5\sqrt{3} $ olacaktır.
Örnek 4:
$3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} $ işleminin cevabını bulalım.
Üstte yaptığımız soruya benzer şekilde yapılacak olan bu soruda önce karekök içindeki sayıları dışarıya çıkartmalıyız.
$3\sqrt{9.2} + 2\sqrt{4.2} $ olarak sayılarımızı tam kare bir sayıyla çarpımı şeklinde yazarız ve içeride kalacak sayıların aynı olduğunu görürüz. Sonrasında kök dışına atıp toplama işlemini tamamlarız.
$3.3\sqrt{2} + 2.2\sqrt{2} = 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} $
$ = 9+4\sqrt{2} = 13\sqrt{2} $
Örnek 5:
$\sqrt{3} + \sqrt{2} $ işleminin sonucu nedir?İşlemimizde karekök içindeki sayılar farklıdır ve herhangi bir şekilde kök dışına atılabilecek sayılar değildir. Bu nedenle bu işlemde hiçbir şey yapamamakla beraber cevabımıza direkt olarak $\sqrt{3} + \sqrt{2} $ söyleyebiliriz.
Kareköklü Sayılarla Çıkarma İşlemi
Çıkarma işlemindeki mantık da toplama işlemi ile birebir olarak aynıdır. Kurallarda herhangi bir farklılık bulunmamakla beraber sadece işlem yerine çıkarma kullanılır.
KURAL:
$a\sqrt{b} – c\sqrt{b} =(a-c)\sqrt{b} $
Unutmayalım ki bu tür işlemleri yapabilmek için kök içleri aynı olmak zorundadır. Aynı olduktan sonra tek işimiz katsayıları birbirinden çıkarmak olacaktır.
Örnek 1:
$5\sqrt{2} – 7\sqrt{2} $ işleminin sonucu kaçtır?
Karekökün içindeki sayılar 2 olduğu için o sayı sabit bırakılır ve katsayılar farkı alınır.
$5\sqrt{2} – 7\sqrt{2} = (5 – 7) \sqrt{2}$
$=-2\sqrt{2}$
Örnek 2:
$\sqrt{48} – 2\sqrt{12} $ işleminin sonucu kaçtır?
İşlem çözülmeden önce karekök içindeki sayılar aynı olabilir mi bakılır. 48 sayısını 16.3 ve 12 sayısını 4.3 şeklinde yazdığımızda içerideki sayıların 3’e eşitleneceği görülebilir.
$\sqrt{16.3} – 2\sqrt{4.3}$
$ = 4\sqrt{3} – (2.2)\sqrt{3}$
$= 4\sqrt{3} – 4\sqrt{3} =0\sqrt{3}$ olarak bulunacaktır. Fakat bir kareköklü ifadenin katsayısı 0 ise cevaba direk olarak 0 diyebiliriz.
Kareköklü Sayılarda Toplama Çıkarma İşlemleri ve Çözümleri
Soru:
$5\sqrt{2} + 7\sqrt{3} + \sqrt{2} – \sqrt{3}$ işleminin çözümü kaçtır?
Fark ettiyseniz karekök içindeki sayılar 2 ve 3’ten oluşmaktadır. 2 ve 3 sayıları başka türlü kök dışına çıkarılamayacağı için bu soruda gruplandırma yöntemi kullanılarak sadece kök içi aynı olan sayılar işleme sokulmalıdır. Yani;
$5\sqrt{2} + \sqrt{2} + 7\sqrt{3} – \sqrt{3}$
$5\sqrt{2} + 1\sqrt{2} + 7\sqrt{3} – 1\sqrt{3}$
$(5+1)\sqrt{2} + (7-1)\sqrt{3}$
$6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$ olarak cevap bulunacaktır.
Yukarıda anlattığımız örneklere ek olarak size vereceğimiz alıştırmaları yapmanız konuyu pekiştirmeniz açısından önemli olacaktır. Aşağıda verilen işlemleri yapıp, yorum olarak bize çözümlerini iletebilirsiniz.
Alıştırmalar
- $5\sqrt{2} + 7\sqrt{2} =$
- $3\sqrt{2} – 8\sqrt{2} =$
- $3\sqrt{2} – 8\sqrt{2} + (-5\sqrt{2}) =$
- $-\sqrt{5}+ 7\sqrt{5} =$
- $-\sqrt{7}+( -2\sqrt{7}) =$
- $-\sqrt{12}+ 2\sqrt{48} =$
- $5\sqrt{45}-\sqrt{125} =$
- $\sqrt{3}+\sqrt{7} =$
Ayrıca bu sorulara ek olarak yayınlayacağımız çalışma kağıdını ve yaprak testimizi de çözmeyi unutmayın 🙂
