Kareköklü sayılarda çarpma ve bölme işlemleri kurallar iyi bilindiği takdirde çok kolay bir hal almaktadır. Bu konu için tam kare sayılar ve bir kareköklü sayıyı $a\sqrt{b}$ şeklinde yazmak hayati rol oynamaktadır. Eğer bu konularla ilgili eksikleriniz varsa bu konuları tekrar etmeniz ve sitemizdeki bununla ilgili çalışma kağıtlarını çözmeniz size fayda sağlayacaktır.
Kareköklü Sayılarla Çarpma İşlemi
Kareköklü sayılar çarpılırken karekökün başındaki sayılar (katsayılar) çarpılıp karekökün başına, kök içindeki sayılar çarpılıp karekök içine yazılır. Bu ifadeyi formülize edersek;
KURAL:
$a\sqrt{b} . c\sqrt{d} = a.c\sqrt{b.d} $
şeklindedir. Eğer verilen karekök sembolünün başında katsayı bulunmuyorsa veya karekök içindeki sayılardan herhangi biri yoksa bu ifadeler 1 olarak olarak alınmalıdır. Ayrıca işlem sonunda karekökün içindeki sayı dışarı çıkarılabiliyorsa çıkartılmalıdır. Aksi halde bulduğunuz sonuç şıklarda bulunmayabilir.
Kareköklü Sayılarda Çarpma Soruları
Örnek 1:
$3\sqrt{5} . 2\sqrt{3} $ işleminin sonucu kaçtır?
Yukarıda formülde belirttiğimiz gibi işlem yapılırken önce katsayılar sonra karekök içindeki sayılar çarpılır. Yani;
$3\sqrt{5} . 2\sqrt{3} = 3.2\sqrt{ 5. 3} $
$ = 6\sqrt{15} $ şeklinde işlem sonucu bulunur. 15 sayısı herhangi bir şekilde dışarı çıkamayacağı için işlemimizin en sade hali bu olacaktır.
Örnek 2:
$\sqrt{2} . 3\sqrt{3} $ işleminin sonucu kaçtır?
Yukarıdaki işlemde ilk ifadenin katsayısı bulunmamaktadır. Bu nedenle bulunmayan katsayı yerine 1 alınmalıdır.
$1\sqrt{2} . 3\sqrt{3} = 1.3\sqrt{ 2. 3}$
$= 3\sqrt{6} $ şeklinde cevap bulunabilir.
Örnek 3:
$4\sqrt{3} . 2\sqrt{8} $ işleminin sonucunu bulunuz.
İşlemler daha önce öğrendiğimiz örnekteki gibi yapılır.
$4\sqrt{3} . 2\sqrt{8} = 4.2\sqrt{ 3. 8} $
$= 8\sqrt{24} $ olarak sonuç bulunur. Fakat işlem burada bitmemektedir. Çünkü 24 sayısı karekök dışına çıkabilir. 24 sayısını 4.6 olarak yazıp, 4 sayısını karekökün dışına çıkarırsak;
$8\sqrt{24} = 8\sqrt{4.6} = 8 . 2 \sqrt{6} $
$= 16 \sqrt{6}$
Kareköklü Sayılarla Bölme İşlemi
Yukarıdaki çarpma işleminde ufak tefek birkaç farkı bulunan bölme işlemini yapmakta oldukça kolaydır. Yalnız burada dikkat edilmesi gereken en önemli nokta hangi sayının hangi sayıya bölündüğündür. Bölünen ile bölenin farklı algılanması istenmeyen olası kötü sonuçlara sebep olabilmektedir.
Bölme işlemi kuralında ise karekökün katsayıları bölünüp katsayıya, kök içleri bölünüp karekök içine yazılmalıdır. Yine çarpmadaki gibi olmayan elemanlar 1 olarak alınıp, işlem sonucunda varsa ifadenin en sade hali bulunmalıdır.
KURAL:
$a\sqrt{b} : c\sqrt{d} = a:c\sqrt{b:d}$
Yukarıda da görüldüğü üzere bölmenin çarpmadan hiç bir farkı yoktur. Fakat çarpma işlemine göre daha çok dikkat edilmesi gereken bir işlem türüdür. Yukarıdaki formülde b’yi d’ye değil de; d’yi b’ye bölmemiz cevabı yanlış olarak bulmamıza neden olacaktı.
Kareköklü Sayılarda Bölme Soruları
Örnek 1:
$8\sqrt{24} : 4\sqrt{8} $ işleminin sonucunu bulalım.
Öncelikle katsayılarımızı bölüp katsayıya, içleri bölüp içe yazalım.
$8\sqrt{24} : 4\sqrt{8} = 8 : 4 \sqrt{24 : 8}$
$= 2\sqrt{3} $ sonucunu buluruz. 3 sayısı karekök dışına herhangi bir şekilde çıkamayacağı için işlemin en sade hali bu olacaktır.
Örnek 2:
$5\sqrt{18} : \sqrt{2}$ işleminin sonucunun en sade halini bulunuz.
İşlemimize başlamadan önce verilen 2. sayının katsayısının olmadığını farketmişsinizdir. Bu bizim için herhangi bir problem teşkil etmemekle beraber boş olan elemana 1 yazmamız gerektiğini daha önceki anlatımlarımızda ifade etmiştik. Yani;
$5\sqrt{18} : 1 \sqrt{2} = 5 : 1 \sqrt{18 : 2} $
$= 5 \sqrt{9}$ olacaktır. Lakin işlemimiz burada bitmedi. Çünkü 9 sayısı tam kare sayı olduğu için dışarıya çıkabilmektedir. 9’u dışarıya 3 diye çıkartıp katsayı ile çarparsak sonucumuzun 5 . 3 = 15 olduğunu görürüz.
Eşlenik Alma
Kareköklü sayılarda işlemler yaparken doğal sayıyı, kareköklü ifadeye bölememe gibi sorunlarla karşılaşabiliriz. Bazılarımız bu işlemin sonucunun yapılamayacağını ifade etse de aslında bu soruları genişletme işlemi ile kolayca yapabiliriz. Tam da bu işleme köklü sayılarda eşlenik alma adını veririz. Bu işlemi yapma amacımız paydayı köklü ifadeden kurtararak daha rahat bölme işlemi yapmamızdır.
ifadesinde de görüldüğü üzere eşlenik alırken genişletme işlemini paydadaki kareköklü ifade ile çarparız. Katsayı bulunduğunda bu katsayıyı genişleteceğimiz sayıya yazma gereği yoktur.
Örnek 1:
$\frac{18}{\sqrt{3}}$ işleminin sonucunu bulunuz.
Yukarıdaki işlemde 18 yanına karekök içinde 1 bile koysak 1’in 3’e bölünmediğini görürüz. Bu işlemi yapabilmek için 2 yöntemimiz bulunmaktadır. Birincisi 18 sayısınının karesini alarak karekök içine atıp daha sonra kareköklü ifadeleri bölmektir. Küçük sayılarla işlem yaparken mantıklı bir işlem gibi gözükse de bu tür problemlerde eşlenik almak ikinci bir yöntem olarak karşımıza çıkmaktadır.
Eşlenik alınırken ifadenin tamamı paydada bulunan kareköklü ifade ile genişletilir. Yani;
$\underset{(\sqrt{3})}{\frac{18}{\sqrt{3}}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} $ cevabı bulunacaktır. Görüldüğü üzere paydayı doğal sayı yaptığımızda bölme işlemi daha kolay yapılabilmektedir.
Bu konuyla ilgili hazırladığımız çalışma kağıtları ve yaprak testlere sitemizden ulaşabilirsiniz. Daha farklı örnekleri görerek konuyu pekiştirmenizi sağlayacak alıştırmalarımızı mutlaka ama mutlaka çözmelisiniz.
